研究泊松條件下Heston模型的模擬方案

日前，北京大學(xué)匯豐商學(xué)院長(zhǎng)聘副教授Jaehyuk Choi的合作論文“Simulation schemes for the Heston model with Poisson conditioning”（《泊松條件下Heston模型的模擬方案》）在European Journal of Operational Research （EJOR）發(fā)表（Volume 314，Issue 1，1 April 2024，Pages 363—376）。論文合作者為香港科技大學(xué)（廣州）教授郭宇權(quán)。

EJOR由Elsevier科學(xué)出版社期刊部發(fā)行，主要刊載管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域最新前沿理論與實(shí)踐研究成果，是英國(guó)商學(xué)院協(xié)會(huì)（the Association of Business Schools，簡(jiǎn)稱ABS）出版的高質(zhì)量學(xué)術(shù)期刊指南（ABS Academic Journal Quality Guide）中認(rèn)定的ABS四星期刊，最新影響因子為6.4

以美國(guó)**金融學(xué)家Steven L. Heston命名的Heston模型是一種典型的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)波動(dòng)（SV）模型。該模型假設(shè)資產(chǎn)的波動(dòng)性隨時(shí)間演變，遵循Cox-Ingersoll-Ross（CIR）過(guò)程，而不是保持不變。雖然并非**個(gè)SV模型，但由于其解析性質(zhì)，它在金融學(xué)術(shù)界和行業(yè)中逐漸流行。例如，在該模型下，期權(quán)價(jià)格由傅里葉逆變換（inverse Fourier transform）表示，相對(duì)容易進(jìn)行評(píng)估。

隨著該模型的日益普及，研究人員一直在研究如何模擬遵循Heston模型的資產(chǎn)價(jià)格路徑。模擬對(duì)定價(jià)路徑依賴衍生品至關(guān)重要，同時(shí)對(duì)時(shí)間序列分析也很有用。傳統(tǒng)的模擬SV模型的方法是將時(shí)間劃分為許多小間隔，并假設(shè)參數(shù)在間隔期間保持不變，進(jìn)而模擬每一步。然而，這種時(shí)間離散化方法通常會(huì)在Heston模型中引起相當(dāng)大的偏差。Broadie-Kaya通過(guò)提出“精確模擬”方法取得了突破，該方法能夠在不將其分成小時(shí)間步長(zhǎng)的情況下完成任何時(shí)間間隔后的價(jià)格采樣。盡管精確模擬是準(zhǔn)確的，但它需要相當(dāng)大的計(jì)算成本。后來(lái)，Glasserman-Kim通過(guò)用一系列無(wú)限的、容易生成的Gamma隨機(jī)變量代替瓶頸步驟，在某種程度上加快了模擬的速度。然而，Broadie-Kaya和Glasserman-Kim兩種方法都必須評(píng)估修改后的貝塞爾函數(shù)，這在計(jì)算上代價(jià)高昂。

這篇合作論文為Heston模型的模擬算法作出了貢獻(xiàn)。論文在兩個(gè)方向上改進(jìn)了Glasserman-Kim的Gamma序列方法。論文研究發(fā)現(xiàn)，如果CIR過(guò)程用泊松隨機(jī)變量分解，并且剩余的模擬是基于泊松變量進(jìn)行條件設(shè)定，就可以完全不使用貝塞爾函數(shù)，這樣會(huì)顯著加快模擬速度。其次，論文采用逆Gamma隨機(jī)變量來(lái)近似Gamma序列的截?cái)囗?xiàng)，使模擬更準(zhǔn)確。通過(guò)提高速度和準(zhǔn)確性，這篇論文使Heston模型的模擬比以前更加容易。

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